Kebingungan Matematika Berabad-abad Mendapatkan Solusi Baru

0



Seri dari teka-teki yang belum terpecahkan dalam teori bilangan yang disebut masalah Diophantine berasal dari 3.700 tahun yang lalu. Selama bertahun-tahun ahli matematika telah meremehkan mereka, dan pekerjaan baru-baru ini telah membuat kemajuan yang signifikan pada beberapa — dan menunjukkan yang lain sama baiknya. tidak bisa dipecahkan seperti biasa.

Para peneliti telah menggunakan alat dari geometri untuk mengatasi masalah, yang dinamai Diophantus, seorang matematikawan Yunani abad ketiga. Mereka melibatkan penentuan solusi mana yang ada untuk persamaan polinomial seperti xn + kamun = zn. matematikawan bertujuan untuk mengetahui apakah ada solusi bilangan bulat atau rasional untuk persamaan. Misalnya untuk x2 + kamu2 = z2, ada banyak sekali solusi seperti itu.

Geometri diophantine adalah bidang matematika yang berfokus pada hubungan antara teori bilangan sifat-sifat persamaan, seperti solusi rasional atau bilangan bulatnya, dan “sifat geometris, seperti topologi himpunan solusi kompleks persamaan”, kata David Corwin, ahli matematika di Universitas Ben Gurion Negev di Israel.

Sangat mengejutkan “betapa sedikitnya yang kita ketahui tentang geometri Diophantine dibandingkan dengan bidang matematika lainnya,” kata Bjorn Poonen, seorang ahli matematika di Massachusetts Institute of Technology. Misalnya, ia mencatat bahwa meskipun matematikawan tahu bahwa angka 20 dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga kubus, seperti pada 33 + 13 + (–2)3 = 20, apakah bilangan 114 dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga kubus tetap menjadi masalah terbuka.

Sisi kegelapan”

Untuk beberapa masalah Diophantine, fokus matematikawan mungkin tampak sangat sempit. Mengapa menghabiskan banyak usaha untuk menentukan apakah 114 dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga kubus? Kiran Kedlaya, seorang ahli matematika di University of California, San Diego, mengatakan bahwa untuk banyak teka-teki Diophantine yang sederhana untuk dinyatakan, “masalahnya sendiri tidak begitu sentral … tetapi teknik yang diperlukan untuk menyelesaikannya sangat sentral.”

Properti ini tidak biasa dalam matematika. Kebingungan terkenal yang dikenal sebagai Teorema Terakhir Fermat, misalnya, juga lebih penting karena teknik yang dikembangkan untuk menyelesaikannya daripada untuk masalah itu sendiri, kata Kedlaya, “yang tidak memiliki banyak konsekuensi langsung untuk teori bilangan. ” Alat yang digunakan untuk menyerangnya, bagaimanapun, termasuk kemajuan kunci dalam teori bilangan aljabar di akhir abad ke-19, serta dalam bentuk modular di awal abad ke-20. “Itu [developments] sangat penting untuk memecahkan banyak masalah dalam teori bilangan modern,” katanya, termasuk pertanyaan yang berhubungan dengan kriptografi.

“Masalah yang paling sederhana cenderung menjadi motivasi yang mengarahkan kita untuk mengembangkan teknik yang kemudian dapat kita gunakan untuk memecahkan masalah yang benar-benar memberi tahu kita banyak hal,” katanya. Misalnya, Masalah Keseragaman Serre, yang berkaitan dengan penelitian Kedlaya, menyangkut jenis khusus dari kurva matematika yang disebut kurva modular. Namun, “konsekuensinya cukup dalam dan teknik yang kami gunakan untuk menerapkannya” pada kasus yang berbeda berakar pada pekerjaan sebelumnya pada masalah Fermat, catatan Kedlaya.

Namun, beberapa masalah Diophantine lebih sulit dipecahkan daripada yang lain. “Banyak peneliti di lapangan mencoba mengembangkan metode baru untuk menyelesaikan persamaan Diophantine,” kata Poonen, “tetapi saya juga bekerja di ‘sisi gelap’ dengan mencoba membuktikan bahwa beberapa kelas masalah tidak dapat dipecahkan.”

Alat Baru untuk Masalah Lama

Alih-alih menggunakan alat dari geometri dan bidang lain untuk memecahkan masalah Diophantine tertentu, mungkin saja mengembangkan program komputer untuk memecahkan kasus umum dari masalah seperti itu. Tapi matematikawan Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Hilary Putnam dan Julia Robinson, menunjukkan bahwa menemukan solusi lengkap untuk masalah ini tidak sesederhana menugaskan komputer untuk mencarinya. Pekerjaan mereka memuncak dalam teorema 1970 yang menjawab matematikawan Jerman David Hilbertmasalah 10 yang terkenal. Masalah itu difokuskan pada pencarian algoritma untuk menentukan apakah, untuk beberapa sistem persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat, terdapat solusi dalam bilangan bulat, catatan Kedlaya. Dalam pemikiran bahwa algoritma seperti itu dapat ditemukan, “Hilbert adalah seorang yang optimis,” kata Kedlaya. “Hilbert sangat besar dalam mencoba menangani masalah kelas umum.”

Tetapi teorema Matiyasevich, yang juga disebut teorema DPRM atau teorema MRDP, menunjukkan bahwa algoritma seperti itu tidak ada. Penemuan ini berarti bahwa “masalah umum jenis itu, tentu saja, sulit dipecahkan,” dan contoh individu dari masalah ini bisa “sangat sulit untuk dipecahkan,” kata Kedlaya.

Anehnya, Corwin mencatat bahwa untuk persamaan polinomial (atau sistem persamaan tersebut) dalam beberapa variabel, tidak ada yang tahu apakah suatu algoritma dapat ditemukan untuk menentukan apakah ada solusi rasional. “Itu tebakan siapa pun,” katanya. Poonen telah bekerja untuk menunjukkan bahwa metode umum seperti itu untuk menemukan solusi dalam bilangan rasional tidak mungkin.

Untuk beberapa pertanyaan kuno ini, termasuk yang diajukan oleh Diophantus sendiri, “kami baru saja mengembangkan metode yang dapat membantu menjawabnya,” kata Jennifer Balakrishnan, ahli matematika di Universitas Boston. Misalnya, masalah dari buku Diophantus Aritmatika menyangkut apakah solusi positif dan rasional untuk x dan kamu ada sehingga persamaan kamu2 = x8 + x4 + x2 puas. Meskipun Diophantus memberikan solusi, yaitu x = dan kamu = 9 / 16, Balakrishnan mengatakan bahwa sampai tahun 1998, tidak diketahui berapa banyak solusi lain yang ada. Di sebuah tesis doktoral di University of California, Berkeley, Joseph Wetherell mempresentasikan teknik untuk menjawab pertanyaan ini.

Baru-baru ini, Balakrishnan dan rekan-rekannya telah mengembangkan teknik baru untuk menemukan solusi serupa. Hasil yang berdampak baru-baru ini, katanya, adalah hasil karya Brian Lawrence dan Akshay Venkatesh bukti baru dari sesuatu yang disebut dugaan Mordell. Meskipun Gerd Faltings pertama kali membuktikan dugaan Mordell pada tahun 1983, karya Lawrence dan Venkatesh “memberikan perspektif lain tentang masalah yang hampir berusia 100 tahun,” kata Balakrishnan. Kemajuan ini dan lainnya menunjukkan bahwa minat pada geometri Diophantine telah berkembang dalam beberapa tahun terakhir, kata Corwin, “terutama dengan munculnya metode baru.”

Leave A Reply

Your email address will not be published.